Question

12．高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則截面所在平面與底面所在平面所成的銳二面角的正切值為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)幾何體建立空間直角坐標(biāo)系，由三視圖求出A、C、D、E的坐標(biāo)，設(shè)平面DEC的法向量，根據(jù)平面法向量的條件列出方程，求出法向量的坐標(biāo)，由兩平面的法向量求出成的銳二面角的余弦值，由平方關(guān)系求出正弦值，由商的關(guān)系即可求出正切值．

解答 解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，截面是平面CDE，
由三視圖得，A（0，0，0），E（0，0，2），D（0，2，4），
C（2，0，0），
所以$\overrightarrow{DE}=（0，-2，-2）$，$\overrightarrow{CE}=（-2，0，2）$，
設(shè)平面DEC的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{CE}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-2y-2z=0\\-2x+2z=0\end{array}\right.$，
不妨令x=1，則y=-1，z=1，
可得$\overrightarrow n=（1，-1，1）$，
又$\overrightarrow{AE}=（0，0，2）$為平面ABC的法向量，
設(shè)所求二面角為θ，則$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}}|}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{AE}}|}}=\frac{2}{{2\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∵θ是銳二面角，∴$sinθ=\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
則$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}=\sqrt{2}$，
故選B．

點評 本題考查幾何體的三視圖，利用空間向量、平面的法向量求二面角，考查分析問題、解決問題的能力．