Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{-x+\frac{1}{x}，x＜0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x²-4x）=a有六個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （2，+∞）
• B． （1，$\frac{15}{4}$）
• C． （1，2）
• D． （2，$\frac{15}{4}$）

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{-x+\frac{1}{x}，x＜0}\end{array}\right.$的圖象，從而由題意可得x²-4x=m有兩個(gè)解，f（x）=a有三個(gè)都大于-4的解，從而解得．

解答 解：作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，x＞0}\\{-x+\frac{1}{x}，x＜0}\end{array}\right.$的圖象如右圖，
∵x²-4x=m最多有兩個(gè)解，f（x）=a最多有三個(gè)解，
∴當(dāng)x²-4x=m有兩個(gè)解，f（x）=a有三個(gè)解時(shí)，
方程f（x²-4x）=a有6個(gè)不同的實(shí)根；
若使f（x）=a有三個(gè)解，則2＜a；
若使x²-4x=m有兩個(gè)解，則m＞-4；
故f（x）=a的三個(gè)解都大于-4；
故x＞-4，故-x+$\frac{1}{x}$＜$\frac{15}{4}$，可得a$＜\frac{15}{4}$，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（2，$\frac{15}{4}$）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)與方程的關(guān)系應(yīng)用．