Question

從裝有n+1個(gè)球（其中n個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出m個(gè)球（0＜m≤n，m，n∈N），共有

C

m n+1

種取法．在這

C

m n+1

種取法中，可以分成兩類：一類是取出的m個(gè)球全部為白球，共有C

0 1

•C

m n

+C

1 1

•C

m-1 n

=C

0 1

•C

m n+1

，即有等式：C

m n

+C

m-1 n

=C

m n+1

成立．試根據(jù)上述思想化簡(jiǎn)下列式子：C

m n

+C

1 k

•C

m-1 n

+C

2 k

•C

m-2 n

+…+C

k k

•C

m-k n

=

 

（1≤k＜m≤n，k，m，n∈N）．

Answer 1

考點(diǎn)：組合及組合數(shù)公式

專題：排列組合

分析：從裝有n+1個(gè)球（其中n個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出m個(gè)球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C_n+1^m種取法．在這C_n+1^m種取法中，可以分成兩類：一類是取出的m個(gè)球全部為白球，另一類是，取出1個(gè)黑球，m-1個(gè)白球，則C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m根據(jù)上述思想，在式子：C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，從第一項(xiàng)到最后一項(xiàng)分別表示：從裝有n個(gè)白球，k個(gè)黑球的袋子里，取出m個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和，故答案應(yīng)為：從從裝有n+k球中取出m個(gè)球的不同取法數(shù)，根據(jù)排列組合公式，易得答案．

解答： 解：在C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，
從第一項(xiàng)到最后一項(xiàng)分別表示：
從裝有n個(gè)白球，k個(gè)黑球的袋子里，
取出m個(gè)球的所有情況取法總數(shù)的和，
故答案應(yīng)為：從從裝有n+k球中取出m個(gè)球的不同取法數(shù)C_n+k^m
故答案為：C_n+k^m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了推理和排列組合，處理本題的關(guān)鍵是熟練掌握排列組合公式，明白每一項(xiàng)所表示的含義，再結(jié)合已知條件進(jìn)行分析，最后給出正確的答案．