Question

20．若曲線x²+y²+a²x+（1-a²）y-4=0關(guān)于直線y=x對稱的曲線仍是其本身，則實數(shù)a為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$或$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $-\frac{1}{2}$或$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得曲線的中心（-$\frac{{a}^{2}}{2}$，-$\frac{{1-a}^{2}}{2}$）在直線y=x上，故有-$\frac{{a}^{2}}{2}$=-$\frac{{1-a}^{2}}{2}$，由此求得a的值．

解答 解：曲線x²+y²+a²x+（1-a²）y-4=0，即曲線（x+$\frac{{a}^{2}}{2}$）²+（y+$\frac{{1-a}^{2}}{2}$）² =$\frac{{2a}^{4}-{2a}^{2}+17}{4}$，
∵曲線x²+y²+a²x+（1-a²）y-4=0關(guān)于直線y=x對稱的曲線仍是其本身，
故曲線的中心（-$\frac{{a}^{2}}{2}$，-$\frac{{1-a}^{2}}{2}$）在直線y=x上，故有-$\frac{{a}^{2}}{2}$=-$\frac{{1-a}^{2}}{2}$，求得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：B．

點評 本題主要考查圓的一般方程，判斷曲線的中心（-$\frac{{a}^{2}}{2}$，-$\frac{{1-a}^{2}}{2}$）在直線y=x上，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．