【題目】如圖，在多面體中，平面平面，四邊形是邊長為的正方形，是等腰直角三角形，且，平面，．

（1）求異面直線和所成角的余弦值；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明出平面，然后以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為一組基底建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求出異面直線和所成角的余弦值；

（2）求出平面和的法向量，然后利用空間向量法可求出二面角的余弦值．

（1），即，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，平面，

平面，

由于四邊形為邊長為的正方形, 所以、、兩兩互相垂直．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為一組基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

平面且，

、、、、、，

，，則，

所以和所成角的余弦值為；

（2），，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，取，得，

平面的一個(gè)法向量為，，

由二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

在平面直角坐標(biāo)系，已知曲線（為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為。

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）過點(diǎn)且與直線平行的直線交于， 兩點(diǎn)，求點(diǎn)到， 的距離之積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2010年至2018年之間，受益于基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)對(duì)光纖產(chǎn)品的需求，以及個(gè)人計(jì)算機(jī)及智能手機(jī)的下一代規(guī)格升級(jí)，電動(dòng)汽車及物聯(lián)網(wǎng)等新機(jī)遇，全球連接器行業(yè)增長呈現(xiàn)加速狀態(tài).根據(jù)如下折線圖，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）

①每年市場(chǎng)規(guī)模逐年增加；

②市場(chǎng)規(guī)模增長最快的是2013年至2014年；

③這8年的市場(chǎng)規(guī)模增長率約為40%；

④2014年至2018年每年的市場(chǎng)規(guī)模相對(duì)于2010年至2014年每年的市場(chǎng)規(guī)模，數(shù)據(jù)方差更小，變化比較平穩(wěn).

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）當(dāng)時(shí)，

①若曲線與直線相切，求c的值；

②若曲線與直線有公共點(diǎn)，求c的取值范圍．

（2）當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x恒成立，當(dāng)c取得最大值時(shí)，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)……”其大意為：“某人從距離關(guān)口三百七十八里處出發(fā)，第一天走得輕快有力，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程為前一天的一半，共走了六天到達(dá)關(guān)口……” 那么該人第一天走的路程為______________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，試求方程的根的個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知三棱錐P－ABC的平面展開圖中，四邊形ABCD為邊長等于的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐P－ABC中：

（1）證明：平面PAC⊥平面ABC；

（2）若點(diǎn)M為棱PA上一點(diǎn)且，求二面角P－BC－M的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求證：函數(shù)有唯一零點(diǎn)；

（2）若對(duì)任意，恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了貫徹落實(shí)黨中央對(duì)新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求，堅(jiān)決防范疫情向校園蔓延，切實(shí)保障廣大師生身體健康和生命的安全，教育主管部門決定通過電視頻道、網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)等多種方式實(shí)施線上教育教學(xué)工作.某教育機(jī)構(gòu)為了了解人們對(duì)其數(shù)學(xué)網(wǎng)課授課方式的滿意度，從經(jīng)濟(jì)不發(fā)達(dá)的A城市和經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的B城市分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到了一個(gè)用戶滿意度評(píng)分的樣本，并繪制出莖葉圖如下：

若評(píng)分不低于80分，則認(rèn)為該用戶對(duì)此教育機(jī)構(gòu)授課方式“認(rèn)可”，否則認(rèn)為該用戶對(duì)此教育機(jī)構(gòu)授課方式“不認(rèn)可”.

（1）請(qǐng)根據(jù)此樣本完成下列2×2列聯(lián)表，并據(jù)此列聯(lián)表分析，能否有95%的把握認(rèn)為城市經(jīng)濟(jì)狀況與該市的用戶認(rèn)可該教育機(jī)構(gòu)授課方式有關(guān)？

認(rèn)可

不認(rèn)可

合計(jì)

A城市

B城市

合計(jì)

（2）以該樣本中A，B城市的用戶對(duì)此教育機(jī)構(gòu)授課方式“認(rèn)可”的頻率分別作為A，B城市用戶對(duì)此教育機(jī)構(gòu)授課方式“認(rèn)可”的概率.現(xiàn)從A城市和B城市的所有用戶中分別隨機(jī)抽取2個(gè)用戶，用X表示這4個(gè)用戶中對(duì)此教育機(jī)構(gòu)授課方式“認(rèn)可”的用戶個(gè)數(shù)，求X的分布列.

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0.10

0.05

0.025

2.706

3.841

5.024

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