Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）當(dāng)時，

①若曲線與直線相切，求c的值；

②若曲線與直線有公共點，求c的取值范圍．

（2）當(dāng)時，不等式對于任意正實數(shù)x恒成立，當(dāng)c取得最大值時，求a，b的值．

Answer 1

【答案】（1）,（2），．

【解析】

（1）當(dāng)時，，所以，①設(shè)切點為，列出方程組，即可求得，得到答案； ②由題意，得方程有正實數(shù)根，即方程有正實數(shù)根，記，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解的取值范圍；

（2）由題意得，當(dāng)時，對于任意正實數(shù)恒成立，即當(dāng)時，對于任意正實數(shù)恒成立， 由（1）可得，進(jìn)而得到，

，得到時，，進(jìn)而得到 對于任意正實數(shù)恒成立，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)論.

（1）解：當(dāng)時，，所以．

①設(shè)切點為，則

由②③得，

由①得代入④得，

所以．

②由題意，得方程有正實數(shù)根，

即方程有正實數(shù)根，

記，令，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；

所以．

若，則，不合；

若，由①知適合；

若，則，又，

所以，由零點存在性定理知在上必有零點．

綜上，c的取值范圍為．

（2）由題意得，當(dāng)時，對于任意正實數(shù)x恒成立，

所以當(dāng)時，對于任意正實數(shù)x恒成立，

由（1）知，，

兩邊同時乘以x得，①，

兩邊同時加上得，②，

所以（*），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．

對（*）式重復(fù)以上步驟①②可得，，

進(jìn)而可得，，，……，

所以當(dāng)，時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．

所以．

當(dāng)取最大值1時，對于任意正實數(shù)x恒成立，

令上式中得， ，所以，

所以對于任意正實數(shù)x恒成立，

即對于任意正實數(shù)x恒成立，

所以，所以函數(shù)的對稱軸，

所以，即，所以，．

又由，兩邊同乘以x2得，，

所以當(dāng)，時，也恒成立，

綜上，得，．