Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-ax，（a＞0），$g（x）=sinxsin（{x+\frac{π}{6}}）-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，命題p：a_n=f（n）是遞增數(shù)列，命題q：g（x）在（a，π）上有且僅有2條對(duì)稱軸．
①求g（x）的周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
②若p∧q為真，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 ①通過(guò)恒等變換整理g（x）的表達(dá)式，求出周期和單調(diào)區(qū)間即可；②分別求出p，q為真時(shí)的a的范圍，取交集即可．

解答 解：①g（x）=sinx（sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin²x+$\frac{1}{2}$sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x
=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴T=π，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
∴g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈z，
②p∧q為真∴p，q為真，
p：a_n+1-a_n=（n+1）²-a（n+1）-n²+an=2n+1-a＞0恒成立，
∴0＜a＜3，
q：g（x）的對(duì)稱軸方程$2x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}⇒x=\frac{1}{2}kπ+\frac{5}{12}π$，
g（x）在（a，π）上有2條對(duì)稱軸，
畫數(shù)軸可得$a∈[{-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}}）$，
∴$a∈（{0，\frac{5π}{12}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)問(wèn)題，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查復(fù)合命題的判斷，是一道中檔題．