Question

定義函數(shù)f（x）={x．{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整數(shù)，如{1.4）=2，{-2.3}=-2．當(dāng)x∈（0，n]（n∈N^*）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)锳_n，記集合A_n中元素的個(gè)數(shù)為a_n，則

lim

n→∞

（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：極限及其運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù){x}的定義、f（x）={x•{x}}，依次求出數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)，再歸納出a_n=a_n-1+n，利用累加法求出a_n，再利用裂項(xiàng)相消法求出

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

的值．進(jìn)而能求出

lim

n→∞

（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）．

解答： 解：由題意易知：當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)閤∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以A₁={1}，a₁=1；
當(dāng)n=2時(shí)，因?yàn)閤∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以A₂={1，3，4}，a₂=3；
當(dāng)n=3時(shí)，因?yàn)閤∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，
所以A₃={1，3，4，7，8，9}，a₃=6；
當(dāng)n=4時(shí)，因?yàn)閤∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，
所以A₄={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a₄=10；
當(dāng)n=5時(shí)，因?yàn)閤∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，
所以A₅={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a₅=15，
由此類推：a_n=a_n-1+n，所以a_n-a_n-1=n，
即a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，a₄-a₃=4，…，a_n-a_n-1=n，
以上n-1個(gè)式子相加得，a_n-a₁=

（n-1）（n+2）

2

，
解得an=

n（n+1）

2

，所以

1

an

=

2

n（n+1）

=2（

1

n

-

1

n+1

），
則

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

2n

n+1

，
∴

lim

n→∞

（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）
=

lim

n→∞

（

2n

n+1

）
=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)，集合元素的個(gè)數(shù)，基本不等式在求函數(shù)最值時(shí)的應(yīng)用，其中正確理解函數(shù)f（x）=[x[x]]，所表示的意義是解答本題的關(guān)鍵．