Question

1．已知函數(shù)f（x）=（x+a）ln（a-x）．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在x=0處的切線方程；
（Ⅱ）當a=e時，求證：函數(shù)f（x）在x=0處取得最值．

Answer 1

分析 （I）利用f'（0）=k切線斜率，可得切線方程．
（Ⅱ）證法一：定義域（-∞，e）．函數(shù)a=e，$f'（x）=ln（e-x）+\frac{x+e}{x-e}$，f（0）=e，$f'（x）=ln（e-x）+\frac{2e}{x-e}+1$．當x∈（-∞，e）時，y=ln（e-x），$y=\frac{2e}{x-e}+1$，均為減函數(shù)，可得f'（x）在（-∞，e）上單調(diào)遞減，又f'（0）=0，即可證明．
證法二：當x∈（-∞，0）時，證明f′（x）＞0，可得f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；  當x∈（0，e），證明f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上單調(diào)遞減，即可證明結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：因為a=1，$f'（x）=ln（1-x）+\frac{x+1}{x-1}$，…（2分）
f'（0）=-1，所以k=-1…（3分）
因為f（0）=0所以切點為（0，0），…（4分）
則切線方程為y=-x…（5分）
（Ⅱ）證明：
證法一：定義域（-∞，e）．
函數(shù)a=e，所以$f'（x）=ln（e-x）+\frac{x+e}{x-e}$…（6分），
f（0）=e，$f'（x）=ln（e-x）+\frac{2e}{x-e}+1$．
當x∈（-∞，e）時，y=ln（e-x），$y=\frac{2e}{x-e}+1$，均為減函數(shù)      …（7分）
所以f'（x）在（-∞，e）上單調(diào)遞減；  …（8分）
又f'（0）=0，
因為當x∈（-∞，0）時，$f'（x）=ln（e-x）+\frac{2e}{x-e}+1＞0$，…（9分）
f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；                                …（10分）
又因為當x∈（0，e），$f'（x）=ln（e-x）+\frac{2e}{x-e}+1＜0$…（11分）
f（x）在x∈（0，e）上單調(diào)遞減；                              …（12分）
因為f（0）=0，所以f（x）在x=0處取得最大值．           …（13分）
證法二：當x∈（-∞，0）時，-x＞0，e-x＞e，ln（e-x）＞lne=1，ln（e-x）+1＞2…（7分）
又因為x＜0，$x-e＜-e，\frac{1}{x-e}＞\frac{1}{-e}，\frac{2e}{x-e}＞\frac{2e}{-e}=-2，\frac{2e}{x-e}＞-2$…（8分）
∴$f'（x）=ln（e-x）+\frac{2e}{x-e}+1＞0$，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；        …（9分）
當x∈（0，e），-x∈（-e，0），e-x∈（0，e），ln（e-x）＜1，…（10分）
又因為x∈（0，e），$-e＜x-e＜0，\frac{1}{x-e}＜\frac{1}{-e}，\frac{2e}{x-e}＜\frac{2e}{-e}=-2，\frac{2e}{x-e}＜-2$…（11分）
∴$f'（x）=ln（e-x）+\frac{2e}{x-e}+1＜0$，f（x）在x∈（0，e）上單調(diào)遞減；       …（12分）
又因為f（0）=0，所以f（x）在x=0處取得最大值．                   …（13分）

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．