Question

4．已知函數(shù)$f（x）=2sinωxcos（ωx+\frac{π}{3}）$（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=$sin（2ωx+\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由周期公式解方程可得ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，由$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{2}$和三角函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得：
f（x）=$2sinωx（\frac{1}{2}cosωx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx）$
=$sinωxcosωx-\sqrt{3}{sin^2}ωx$
=$\frac{1}{2}sin2ωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2ωx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$sin（2ωx+\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∵f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2ω}=π$，
解方程可得ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
∵$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{2}$，∴$0≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$．
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{3}）≤1$．
當(dāng)$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{12}$時，f（x）取得最大值是$1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
當(dāng)$2x+\frac{π}{3}=\frac{4π}{3}$，即$x=\frac{π}{2}$時，f（x）取得最小值是$-\sqrt{3}$．
∴f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$的最大值為$1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，最小值為$-\sqrt{3}$

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及三角函數(shù)公式和三角函數(shù)的周期性，屬中檔題．