Question

20．已知動點(diǎn)E在拋物線y²=16x上，過點(diǎn)E作EF垂直于x軸，垂足為F，設(shè)$\overrightarrow{EF}=2\overrightarrow{EM}$．
（1）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）已知點(diǎn)B（1，-2），過點(diǎn)（3，2）的直線L交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，求證：直線BP與直線BQ的斜率之積為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），$\overrightarrow{EF}=2\overrightarrow{EM}$則E（x，2y），代入拋物線y²=16x，即可得到軌跡方程．
（2）設(shè)過點(diǎn)（3，2）的直線為L：m（y-2）=x-3，直線L交于P、Q兩點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立直線L與曲線C，利用判別式以及韋達(dá)定理，求解k_BP•k_BQ．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），$\overrightarrow{EF}=2\overrightarrow{EM}$則E（x，2y），
而動點(diǎn)E在拋物線y²=16x，
代入得C的方程為：y²=4x．…（4分）
（2）設(shè)過點(diǎn)（3，2）的直線為L：m（y-2）=x-3
直線L交于P、Q兩點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線L與曲線C
聯(lián)立方程有：y²-4my+8m-12=0，
顯然△＞0．
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=8m-12．…（6分）
∵${k_{BP}}•{k_{BQ}}=\frac{{{y_1}+2}}{{{x_1}-1}}•\frac{{{y_2}+2}}{{{x_2}-1}}=\frac{4}{{{y_1}-2}}•\frac{4}{{{y_2}-2}}=\frac{16}{{{y_1}{y_2}-2（{{y_1}+{y_2}}）+4}}$，…（10分）
即代入得k_BP•k_BQ=-2…（12分）

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．