Question

17．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，問當m，k滿足何種條件時，直線y=kx+m與橢圓E恒有兩個交點A、B，且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線方程y=kx+m代入橢圓方程，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，利用△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-8）=64k²-8m²+32＞0，結(jié)合韋達定理、向量知識，即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把直線方程y=kx+m代入橢圓方程，消去y，得
（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，
∴k²=$\frac{3{m}^{2}-8}{8}$，
∵△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-8）=64k²-8m²+32＞0，
∴24m²-8m²-32＞0，
可得m²＞2，又k2≥0，即有m²≥$\frac{8}{3}$，
∴k，m的條件為k∈R，且m≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或m≤-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查橢圓方程和簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．