Question

9．函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d在x=0處的切線方程為8x+y-1=0，且函數(shù)f（x）在x=-2和x=4處有極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在x∈[-3，3]的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)在x=0處的切線方程為8x+y-1=0，求出c=-8，根據(jù)-2，4是導(dǎo)函數(shù)的根，解關(guān)于a，b的方程，由曲線過（0，1）點求出d，從而求出函數(shù)的表達式即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函數(shù)在x=0處的切線方程為8x+y-1=0，
∴f′（0）=c=-8，曲線過（0，1）點，
又函數(shù)f（x）在x=-2和x=4處有極值，
∴-2，4是方程f（x）=0的兩個根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{12a-4b-8=0}\\{48a+8b-8=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-8x+d，①，
∵曲線過（0，1）點，將（0，1）代入①得d=1，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-8x+1；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-8x+1，
f′（x）=x²-2x-8=（x-4）（x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞4或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜4，
∴f（x）在[-3，-2）遞增，在（2，3]遞減，
f（x）_最大值=f（-2）=$\frac{31}{3}$．

點評 本題考查了求函數(shù)的表達式問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及最值問題，是一道中檔題．