【題目】為半橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn),為上焦點(diǎn),將半橢圓和線段合在一起稱為曲線
(1)求的外接圓圓心的坐標(biāo)
(2)過焦點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),若,求所有滿足條件的直線的方程
(3)對(duì)于一般的封閉曲線,曲線上任意兩點(diǎn)距離的最大值稱為該曲線的“直徑”,如圓的“直徑”就是通常的直徑,橢圓的“直徑”就是長(zhǎng)軸的長(zhǎng),求該曲線的“直徑”
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
(1)先根據(jù)已知條件求出的三邊長(zhǎng),可得為邊長(zhǎng)為的等邊三角形,再利用等邊三角形的性質(zhì),即可求得外接圓圓心的坐標(biāo);
(2)設(shè)出方程,與橢圓方程聯(lián)立方程組,得出,用弦長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng),用含的式子表示,根據(jù),即可求出值;
(3)先設(shè)曲線上兩動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),代入兩點(diǎn)間距離公式,再利用放縮法,以及橢圓上點(diǎn)的范圍即可求出兩動(dòng)點(diǎn)間距離的范圍,進(jìn)而求出“直徑”長(zhǎng).
(1)由題意可知:
則,, 故為邊長(zhǎng)為的等邊三角形
根據(jù)等邊三角形外心和重心重合,
三角形的重心坐標(biāo)公式為: ,
設(shè)的外接圓圓心的坐標(biāo)為,
,
故外接圓圓心的坐標(biāo)為:.
(2)
記橢圓的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為
①若直線與曲線的兩交點(diǎn),一個(gè)在橢圓上,另一個(gè)在線段上,如圖.
,,即此時(shí),
只有直線符合題意.
②設(shè)點(diǎn)兩點(diǎn)都在橢圓上,
直線
將橢圓和直線聯(lián)立方程組,消掉:
則: 得 即
由韋達(dá)定理可得:
由弦長(zhǎng)公式得: 解得:
當(dāng)時(shí),直線
當(dāng)時(shí),直線
綜上所述,滿足題意的直線有三條分別為:.
(3)設(shè)曲線上兩動(dòng)點(diǎn)
顯然至少有一點(diǎn)在橢圓上時(shí)才能取得最大
不妨設(shè)
則
等號(hào)成立時(shí):,或,
由兩點(diǎn)距離公式可得:
故曲線的“直徑”為:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
已知橢圓:的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,其離心率,點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),面積的最大值是.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過橢圓右頂點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三角形ABC中,,D是垂足,則推廣到空間,三棱錐中,面面,O為垂足,且O在三角形BCD內(nèi),則類似的結(jié)論為___________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足: , , .
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,試確定的值,使得數(shù)列為等差數(shù)列;
(3)將數(shù)列中的部分項(xiàng)按原來順序構(gòu)成新數(shù)列,且,求證:存在無數(shù)個(gè)滿足條件的無窮等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題正確的是
(1)命題“,”的否定是“,”;
(2)l為直線,,為兩個(gè)不同的平面,若,,則;
(3)給定命題p,q,若“為真命題”,則是假命題;
(4)“”是“”的充分不必要條件.
A. (1)(4)B. (2)(3)C. (3)(4)D. (1)(3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為保護(hù)農(nóng)民種糧收益,促進(jìn)糧食生產(chǎn),確保國(guó)家糧食安全,調(diào)動(dòng)廣大農(nóng)民糧食生產(chǎn)的積極性,從2004年開始,國(guó)家實(shí)施了對(duì)種糧農(nóng)民直接補(bǔ)貼.通過對(duì)2014~2018年的數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)查,發(fā)現(xiàn)某地區(qū)發(fā)放糧食補(bǔ)貼額(億元)與該地區(qū)糧食產(chǎn)量(萬億噸)之間存在著線性相關(guān)關(guān)系.統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 |
補(bǔ)貼額億元 | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
糧食產(chǎn)量萬億噸 | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)請(qǐng)根據(jù)如表所給的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸直線方程;
(2)通過對(duì)該地區(qū)糧食產(chǎn)量的分析研究,計(jì)劃2019年在該地區(qū)發(fā)放糧食補(bǔ)貼額7億元,請(qǐng)根據(jù)(1)中所得的線性回歸直線方程,預(yù)測(cè)2019年該地區(qū)的糧食產(chǎn)量.
(參考公式:,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于曲線C所在平面上的定點(diǎn),若存在以點(diǎn)為頂點(diǎn)的角,使得對(duì)于曲線C上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B恒成立,則稱角為曲線C相對(duì)于點(diǎn)的“界角”,并稱其中最小的“界角”為曲線C相對(duì)于點(diǎn)的“確界角”.曲線相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的“確界角”的大小是 _________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè),,是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn),連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn),證明直線與軸相交于定點(diǎn);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),求的取值范圍.
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