Question

設(shè)直線l的參數(shù)方程為

x=3+tcosα y=4+tsinα

（t為參數(shù)，α為傾斜角），圓C的參數(shù)方程為

x=1+2cosθ y=-1+2sinθ

（θ為參數(shù)）．
（1）若直線l經(jīng)過圓C的圓心，求直線l的斜率．
（2）若直線l與圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）把參數(shù)方程消去參數(shù)化為直角坐標(biāo)方程，再根據(jù)直線經(jīng)過定點(diǎn)（3，4）和圓心（1，-1），求得直線的斜率tanα 的值．
（2）若直線l與圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則圓心到直線的距離小于半徑，即

|tanα+1+4-3tanα|

tan2α+1

＜2，求得 tanα＞2.1，可得故直線的斜率的范圍．

解答： 解：（1）把直線l的參數(shù)方程為

x=3+tcosα y=4+tsinα

（t為參數(shù)，α為傾斜角），
消去參數(shù)化為直角坐標(biāo)方程為y-4=tanα（x-3），即 tanαx-y+4-3tanα=0．
把圓C的參數(shù)方程為

x=1+2cosθ y=-1+2sinθ

（θ為參數(shù)），消去參數(shù)化為直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（y+1）²=4，
可得圓心為（1，-1）、半徑等于2．
再根據(jù)直線經(jīng)過定點(diǎn)（3，4），故直線的斜率tanα=

4+1

3-1

=

5

2

．
（2）若直線l與圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則圓心到直線的距離小于半徑，即

|tanα+1+4-3tanα|

tan2α+1

＜2，
求得 tanα＞2.1，故直線的斜率的范圍為（2.1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．