Question

如圖，有一塊拋物線形狀的鋼板，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形ABCD的形狀，使得A，B，C，D都落在拋物線上，點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線的軸對(duì)稱，且AB=2，拋物線的頂點(diǎn)到底邊的距離是2，記CD=2t，梯形面積為S．
（1）以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，其對(duì)稱軸為y軸建立坐標(biāo)系，使拋物線開口向下，求出該拋物線的方程；
（2）求面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；
（3）求面積S的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，其對(duì)稱軸為y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為：x²=-2py（p＞0），由此能求出外輪廓線所在拋物線的方程．
（2）設(shè)C（x，y），則CD=2t，x=t，代入拋物線方程得y=-2t²，故梯形的高為2-2t²，由此能求出面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式及其定義域．
（3）S'=-2（t+1）（3t-1），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當(dāng)t=

1

3

時(shí)函數(shù)取得最大值，Smax=

64

27

．

解答： 解：（1）以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，其對(duì)稱軸為y軸建立坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線方程為：x²=-2py（p＞0），
由圖得拋物線過點(diǎn)（1，-2），
代入x²=-2py（p＞0）求得p=

1

4

，
∴外輪廓線所在拋物線的方程：x2=-

1

2

y．…（5分）
（2）設(shè)C（x，y），∵CD=2t∴x=t，
代入拋物線方程得y=-2t²，故梯形的高為2-2t²，
∴S=

1

2

(2t+2)(2-2t2)=-2t³-2t²+2t+2，…（9分）
又由

t＞0 2-2t2＞0

，解得t∈（0，1），
∴其定義域?yàn)椋?，1）．…（10分）
（3）∵S=-2t³-2t²+2t+2，
∴S'=-2（t+1）（3t-1），
令S'=0，解得t=

1

3

，（12分）
當(dāng)0＜t＜

1

3

時(shí)S'＞0，∴函數(shù)在該區(qū)間遞增，
當(dāng)

1

3

＜t＜1時(shí)S'＜0，∴函數(shù)在該區(qū)間遞減，…（14分）
∴當(dāng)t=

1

3

時(shí)函數(shù)取得最大值，Smax=

64

27

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查函數(shù)解析式的求法，考查面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．