【題目】已知點是橢圓上一動點，點分別是左、右兩個焦點.面積的最大值為，且橢圓的長軸長為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點，在橢圓上，已知兩點，，且以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點.求證：的面積為定值.

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意建立方程求出，即可得到橢圓方程；

（2）分斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線MN斜率不存在時易求三角形面積，當(dāng)直線MN斜率存在時，設(shè)聯(lián)立橢圓，根據(jù)弦長公式及點到直線的距離求三角形面積即可.

（1）由題意知，當(dāng)點在短軸端點時，面積的最大值為，

所以，解得或，

因為，所以，所以.

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，則，

又，所以.

①當(dāng)直線的斜率不存在時，由題意知，

又，所以，；

②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，

聯(lián)立，得.

則，

所以，

代入整理得：，

此時，

點到直線的距離，所以，

綜上, 的面積為定值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知中，，，且的最小值為，則________，若P為邊AB上任意一點，則的最小值是________．

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【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為.以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))

(1)若，求曲線C的直角坐標(biāo)方程以及直線l的極坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點，曲線C與直線 交于A、B兩點，求的最小值

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【題目】已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，分別為橢圓的左、右頂點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過左頂點的直線與橢圓另交于點，與軸交于點，在平面內(nèi)是否存在一定點，使得恒成立？若存在，求出該點的坐標(biāo)，并求面積的最大值；若不存在，說明理由.

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【題目】已知數(shù)列中，滿足記為前n項和．

（I）證明： ；

（Ⅱ）證明：

（Ⅲ）證明： .

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【題目】已知橢圓經(jīng)過點，，是C的左、右焦點，過的直線l與C交于A，B兩點，且的周長為．

（1）求C的方程；

（2）若，求l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)首項為a1的正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，q為非零常數(shù)，已知對任意正整數(shù)n，m，Sn+m＝Sm+qmSn總成立．

（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；

（2）若不等的正整數(shù)m，k，h成等差數(shù)列，試比較ammahh與ak2k的大小；

（3）若不等的正整數(shù)m，k，h成等比數(shù)列，試比較與的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】假設(shè)存在兩個物種，前者有充足的食物和生存空間，而后者僅以前者為食物，則我們稱前者為被捕食者，后者為捕食者.現(xiàn)在我們來研究捕食者與被捕食者之間理想狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型.假設(shè)捕食者的數(shù)量以表示，被捕食者的數(shù)量以表示.如圖描述的是這兩個物種隨時間變化的數(shù)量關(guān)系，其中箭頭方向為時間增加的方向.下列說法正確的是（ ）

A.若在、時刻滿足：，則

B.如果數(shù)量是先上升后下降的，那么的數(shù)量一定也是先上升后下降

C.被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量不會同時到達(dá)最大值或最小值

D.被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量總和達(dá)到最大值時，被捕食者的數(shù)量也會達(dá)到最大值

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