Question

17．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且$\sqrt{3}$bsinA+acosB-2a=0．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=$\sqrt{3}$，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求a，c的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡(jiǎn)后，在利用輔助角公式求解即可．
（2）利用（1）中求的B的大小，求出sinB和cosB的值，利用$S=\frac{1}{2}acsinB$和cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$組成方程組求解a，c的值．

解答 解：（1）由題意：$\sqrt{3}$bsinA+acosB-2a=0．
根據(jù)正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinBsinA+sinAcosB-2sinA=0
∵A，B，C是△ABC的內(nèi)角，
∴sinA≠0．
∴$\sqrt{3}$sinB+cosB-2=0
化簡(jiǎn)得：sin（B+$\frac{π}{6}$）=1
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可知B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$．
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosB=$\frac{1}{2}$
$S=\frac{1}{2}acsinB$
則：$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}ac×$sinB…①
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$
∴$\frac{1}{2}=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-3}{2ac}$…②
由①②聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)得$\left\{\begin{array}{l}{ac=2}\\{{a}^{2}+{c}^{2}=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}\right.$
所以a，c的值分別為$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的正弦定理和任意三角形的面積公式和余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．