Question

1．已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²-a|x-1|．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）討論y=f（x）的圖象與y=|x-a|的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把絕對(duì)值函數(shù)化為分段函數(shù)，繼而求出函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=x²-a|x-1|-|x-a|，分a＞1，a=1，a＜1三種情況討論，其中a＞1，和a＜1時(shí)，還要繼續(xù)分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．

解答 解（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x+1，x≥1\\{x^2}+x-1，x＜1.\end{array}\right.$，
故$f{（x）_{min}}=f（{-\frac{1}{2}}）=-\frac{5}{4}$；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=x²-a|x-1|-|x-a|，
當(dāng)a＞1時(shí)，$h（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-（{a+1}）x+2a，x≥a\\{x^2}-（{a-1}）x，1≤x＜a\\{x^2}+（{a+1}）x-2a．x＜1.\end{array}\right.$，
1、x≥a時(shí)，h（a）=a＞0，對(duì)稱軸$x=\frac{a+1}{2}＜a$，無零點(diǎn)．1≤x＜a時(shí)，x₁=0（舍去），x₂=a-1，
所以（�。゛≥2時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)；
（ⅱ）1＜a＜2時(shí)，x＜1時(shí)，△=a²+10a+1＞0，對(duì)稱軸$x=\frac{a+1}{2}＜1$，h（1）=2-a
所以（�。゛≥2時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)；
（ⅱ）1＜a＜2時(shí)，兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，a＞1時(shí)，h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
即y=f（x）的圖象與y=|x-a|的圖象的公共點(diǎn)有2個(gè)，
2．a(chǎn)=1時(shí)，$x=-1±\sqrt{3}$，即y=f（x）的圖象與y=|x-a|的圖象的公共點(diǎn)有2個(gè)，
3．a(chǎn)＜1時(shí)，$h（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-（{a+1}）x+2a，x≥1\\{x^2}+（{a-1}）x，a≤x＜1\\{x^2}+（{a+1}）x-2a．x＜a\end{array}\right.$…（9分）
x≥1時(shí)，對(duì)稱軸$x=\frac{a+1}{2}＜1$，h（1）=a．
所以（�。゛≤0時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)；
（ⅱ）0＜a＜1時(shí)，無零點(diǎn)．a(chǎn)≤x＜1時(shí)，x₁=0（舍去），x₂=1-a，
所以（�。�$a≤\frac{1}{2}$時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)；
（ⅱ）$\frac{1}{2}＜a＜1$時(shí)，無零點(diǎn)．x＜a時(shí)，△=a²+10a+1，對(duì)稱軸$x=-\frac{a+1}{2}$，h（a）=a（2a-1）
所以（ⅰ）$a≤-\frac{1}{3}$時(shí)，對(duì)稱軸$x=-\frac{a+1}{2}≥a$，h（a）=a（2a-1）＞0，無零點(diǎn)；
（ⅱ）$-\frac{1}{3}＜a＜-5+2\sqrt{6}$時(shí)，△=a²+10a+1＜0，無零點(diǎn)；
（ⅲ）$a=-5+2\sqrt{6}$時(shí)，$x=2-\sqrt{6}＜a=-5+2\sqrt{6}$，一個(gè)零點(diǎn)；
（ⅳ）$-5+2\sqrt{6}＜a＜0$或$\frac{1}{2}＜a＜1$時(shí)，△=a²+10a+1＞0，對(duì)稱軸$x=-\frac{a+1}{2}＜a$，h（a）=a（2a-1）＞0，兩個(gè)零點(diǎn)；
（ⅴ）$0≤a≤\frac{1}{2}$時(shí)，h（a）=a（2a-1）≤0，一個(gè)零點(diǎn)，
綜上，（ⅰ）$a＜-5+2\sqrt{6}$或a＞0時(shí)，y=f（x）與y=g（x）的圖象的公共點(diǎn)有2個(gè)；
（ⅱ）$a=-5+2\sqrt{6}$或a=0時(shí)，y=f（x）與y=g（x）的圖象的公共點(diǎn)有3個(gè)；
（ⅲ）$-5+2\sqrt{6}＜a＜0$時(shí)，y=f（x）與y=g（x）的圖象的公共點(diǎn)有4個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)是分類討論，類中有類運(yùn)算量大，分類多，屬于難題．