Question

13．已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）=2x+$\frac{10}{x}$．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線y=2x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）|PM|•|PN|是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），M（t，2t），試用x₀表示t，并求出線段OM的長(zhǎng)（結(jié)果用含x₀的式子表示）；
（3）設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OMPN面積的最小值．
（提示：當(dāng)x＞0，k＞0時(shí)，恒有x+$\frac{k}{x}≥2\sqrt{k}$（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{k}$時(shí)，等號(hào)成立））．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件，設(shè)出P的坐標(biāo)，求出|PM|•|PN|，判斷是否為定值即可；
（2）由題意可知：M（t，2t），求出t，可得M的坐標(biāo)，即可求出線段OM的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)條件將四邊形OMPN分解為兩個(gè)三角形OPM和OPN，分別表示出兩個(gè)三角形的面積，利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求最值．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則有${y_0}=2{x_0}+\frac{10}{x_0}$，

由點(diǎn)到直線的距離公式得$|PM|=\frac{{|{y_0}-2{x_0}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|{\frac{10}{x_0}}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{x_0}$，|PN|=x₀，
則$|PM|•|PN|=2\sqrt{5}$，即|PM|•|PN|為定值$2\sqrt{5}$．…（4分）
（2）由題意可知：M（t，2t）．
由PM與直線y=2x垂直，知${k_{PM}}=-\frac{1}{2}$，即$\frac{{{y_0}-2t}}{{{x_0}-t}}=-\frac{1}{2}$，
又${y_0}=2{x_0}+\frac{10}{x_0}$，解得$t={x_0}+\frac{4}{x_0}$，
故$|OM|=\sqrt{5}（{{x_0}+\frac{4}{x_0}}）$．…（8分）
（3）${S_{△OPM}}=\frac{1}{2}•\frac{{2\sqrt{5}}}{x_0}•\sqrt{5}（{{x_0}+\frac{4}{x_0}}）=5（{1+\frac{4}{{{x_0}^2}}}）$，${S_{△OPN}}=\frac{1}{2}•{x_0}•（{2{x_0}+\frac{10}{x_0}}）={x_0}^2+5$．
所以S_△OMPN=S_△OPM+S_△OPN=$5（{1+\frac{4}{{{x_0}^2}}}）+{x_0}^2+5$=${x_0}^2+\frac{20}{{{x_0}^2}}+10$$≥4\sqrt{5}+10$．
當(dāng)且僅當(dāng)${x_0}=2{0^{\frac{1}{4}}}$時(shí)等號(hào)成立，故四邊形面積有最小值$4\sqrt{5}+10$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查曲線和方程，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，利用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．