Question

6．在△ABC中，∠C=90°，M是BC邊上一點，且CM=$\frac{1}{3}$CB，則sin∠BAM的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 以CB，CA為x，y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)B（4a，0），A（0，b），求出$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$，利用數(shù)量積公式表示出cos∠BAM，利用基本不等式求出最小值，sin²∠BAM+cos²∠BAM=1，sin∠BAM≥0，求出sin∠BAM的最大值．

解答 解：以CB，CA為x，y軸建立坐標(biāo)系，
設(shè)B（3a，0），A（0，b），
∵CM=$\frac{1}{3}$CB，
∴M（a，0），
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$=（a，-b）•（3a，-b）=3a²+b²，
∴cos∠BAM=$\frac{3{a}^{2}+^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}•\sqrt{9{a}^{2}+^{2}}}$
=$\frac{3{a}^{2}+^{2}}{\sqrt{（3{a}^{2}+^{2}）^{2}+4{a}^{2}^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos∠BAM最小值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵sin²∠BAM+cos²∠BAM=1，sin∠BAM≥0，
∴sin∠BAM的最大值是為$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查通過建立坐標(biāo)系解決sin∠BAM的最大值問題；利用基本不等式求最值，屬于一道中檔題．