Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-6x+9}$+$\sqrt{{x}^{2}+2x+1}$
（1）作出y=f（x）的圖象；
（2）解不等式f（x）≤6；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=k（x-3），k∈R，若f（x）＞g（x）對(duì)任意的x∈R都成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=|x-3|+|x+1|，通過(guò)零點(diǎn)分區(qū)間法，可得分段函數(shù)f（x）的解析式，畫(huà)出圖象；
（2）不等式f（x）≤6即|x-3|+|x+1|≤6．可得$\left\{\begin{array}{l}{2-2x≤6}\\{x≤-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{4≤6}\\{-1＜x＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2x-2≤6}\\{x≥3}\end{array}\right.$，分別求得它們的解集，再取并集，即得所求；
（3）由題意可得，f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，作函數(shù)y=f（x）和 y=g（x）的圖象如圖，由k_PB=2，A（-1，4），可得k_PA=-1，數(shù)形結(jié)合求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=|x-3|+|x+1|
=$\left\{\begin{array}{l}{2-2x，x≤-1}\\{4，-1＜x＜3}\\{2x-2，x≥3}\end{array}\right.$，如圖所示．
（2）f（x）≤6即為
$\left\{\begin{array}{l}{2-2x≤6}\\{x≤-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{4≤6}\\{-1＜x＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2x-2≤6}\\{x≥3}\end{array}\right.$，
可得-2≤x≤-1或-1＜x＜3或3≤x≤4．
所以f（x）≤6的解集為{x|-2≤x≤4}．
（3）f（x）＞g（x）對(duì)任意的x∈R都成立，
即f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，
∵f（x）=|x-3|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2-2x，x≤-1}\\{4，-1＜x＜3}\\{2x-2，x≥3}\end{array}\right.$．
由于函數(shù)g（x）=k（x-3）的圖象為恒過(guò)定點(diǎn)P（3，0），且斜率k變化的一條直線(xiàn)，
作函數(shù)y=f（x）和 y=g（x）的圖象如圖，其中，k_PB=2，A（-1，4），
∴k_PA=$\frac{4-0}{-1-3}$=-1．
由圖可知，要使得f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查含絕對(duì)值的函數(shù)的圖象和應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．