Question

已知函數(shù)

(1)求曲線y=f(x)在(2，f(2))處的切線方程；

(2)若g(x)=f(x)一有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)．其極小值為M，試比較2M與一3的大小，并說明理由；

(3)設(shè)q>p>2，求證：當(dāng)x∈(p，q)時(shí)，.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.第一問，先對(duì)求導(dǎo)，將代入到中得到切線的斜率，將代入到中得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后利用點(diǎn)斜式，直接寫出切線方程；第二問，對(duì)求導(dǎo)，由于有2個(gè)不同的極值點(diǎn)，所以有2個(gè)不同的根，即在有兩個(gè)不同的根，所以且，可以解出a的取值范圍，所以根據(jù)的單調(diào)性判斷出為極小值，通過函數(shù)的單調(diào)性求最值，從而比較大��；第三問，用分析法證明分析出只須證，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明，同理再證明，最后利用不等式的傳遞性得到所證不等式.

試題解析：（1）易知，

所求的切線方程為，即 4分

（2）易知，

有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)

在有兩個(gè)不同的根

則且 解得 6分

在遞增，遞減，遞增

的極小值

又

則，在遞減

，故 9分

（3）先證明：當(dāng)時(shí)，

即證：

只需證：

事實(shí)上，設(shè)

易得，在內(nèi)遞增

即原式成立 12分

同理可以證明當(dāng)時(shí)，

綜上當(dāng)時(shí)，. 14分

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值；3.利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線.