Question

13．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x-4在（3，+∞）上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． a≥0
• B． a≥1
• C． a≤-3或a≥1
• D． -3≤a≤1

Answer 1

分析 根據(jù)題意，可將問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)y′≥0在（3，+∞）上恒成立，即求y′_min≥0，運用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得y′_min，從而得到關(guān)于a的不等關(guān)系，求解即可得到a的取值范圍．

解答 解：∵y=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x-4，
∴y′=x²-2ax-3a²，
∵函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³-ax²-3a²x-4在（3，+∞）上是增函數(shù)，
∴y′=x²-2ax-3a²≥0在（3，+∞）上恒成立，
∵y′=x²-2ax-3a²=（x-a）²-4a²，
①對稱軸為x=a=3，y′＜0，不成立；
②當a＞3，-4a²＞0，無解；
當a＜3，y′在（3，+∞）單調(diào)遞增，
∴y′＞3²-2a×3-3a²=9-6a-3a²≥0，
∴-3≤a≤1，
∴實數(shù)a的取值范圍是[-3，1]，
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的綜合運用，函數(shù)的單調(diào)性對應著導數(shù)的正負，若已知函數(shù)的單調(diào)性，經(jīng)常會將其轉(zhuǎn)化成恒成立問題解決．屬于中檔題．