Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{x-1}-1，x＞1}\\{2{-e}^{x}，x≤1}\end{array}\right.$，若函數(shù)h（x）=f（x）-mx-2有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（　�。�

• A． （-6-4$\sqrt{2}$，0）∪（0，+∞）
• B． （-6+4$\sqrt{2}$，0）∪（0，+∞）
• C． （-6+4$\sqrt{2}$，0）
• D． （-6-4$\sqrt{2}$，-6+4$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 作出f（x）與y=mx+2的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷當(dāng)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)直線的斜率范圍即可得出m的范圍．

解答 解：令h（x）=0得f（x）=mx+2，
作出f（x）和y=mx+2的函數(shù)圖象，如圖所示：

由圖象可知當(dāng)m＞0時(shí)，y=mx+2與f（x）的圖象一定有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)m＜0時(shí)，設(shè)y=m′x+2與f（x）在（1，+∞）上的函數(shù)圖象相切，切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{m′=-\frac{2}{{（x}_{0}-1）^{2}}}\\{m′{x}_{0}+2={y}_{0}}\\{\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}-1={y}_{0}}\end{array}\right.$，解得m′=-6+4$\sqrt{2}$，x₀=2+$\sqrt{2}$，
∴當(dāng)-6+4$\sqrt{2}$＜m＜0時(shí)，直線y=mx+2與f（x）在（1，+∞）上的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．
綜上，m的取值范圍為（-6+4$\sqrt{2}$，0）∪（0，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．