Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³+3|x-a|（a＞0），若f（x）在[-1，1]上的最小值記為g（a），求g（a）．

Answer 1

分析 分類討論a的范圍，0＜a＜1，a≥1，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求g（a）．

解答 解：∵a＞0，-1≤x≤1，
①當0＜a＜1時，
若x∈[-1，a]，則f（x）=x³-3x+3a，f′（x）=3x²-3＜0，
故此時函數(shù)在（-1，a）上是減函數(shù)，
若x∈（a，1]，則f（x）=x³+3x-3a，f′（x）=3x²+3＞0，
故此時函數(shù)在（a，1）上是增函數(shù)，
∴g（a）=f（a）=a³．
②當a≥1，f（x）=x³+3|x-a|=x³-3x+3a，f′（x）=3x²-3＜0，
故此時函數(shù)在[-1，1]上是減函數(shù)，
則g（a）=f（1）=-2+3a．
綜上：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}，0＜a＜1}\\{3a-2，a≥1}\end{array}\right.$．

點評 本題利用導數(shù)可以解決最值問題，正確求導，確定函數(shù)的單調(diào)性是解題的關鍵．