Question

4．如圖ABCD為正方形，VD⊥平面ABCD，VD=AD=2，F(xiàn)為VA中點(diǎn)，E為CD中點(diǎn)．
①求證：DF∥平面VEB；
②求平面VEB與平面VAD所成二面角的余弦值；
③V、D、C、B四點(diǎn)在同一個(gè)球面上，所在球的球面面積為S，求S．

Answer 1

分析 ①取VB的中點(diǎn)O，連接OE，OF，證明四邊形OFDE是平行四邊形，可得OE∥DF，利益線面平行的判定定理證明DF∥平面VEB；
②利用面積射影法求平面VEB與平面VAD所成二面角的余弦值；
③V、D、C、B四點(diǎn)在同一個(gè)球面上，VB是球的直徑，即可取出所在球的球面面積．

解答 ①證明：取VB的中點(diǎn)O，連接OE，OF，則
因?yàn)镕為VA中點(diǎn)，
所以O(shè)F∥AB，OF=$\frac{1}{2}$AB，
因?yàn)镋為CD中點(diǎn)，
所以DE=$\frac{1}{2}$CD，
因?yàn)锳B∥CD，
所以O(shè)F∥DE，OF=DE，
所以四邊形OFDE是平行四邊形，
所以O(shè)E∥DF，
因?yàn)镺E?平面VEB，DF?平面VEB
所以DF∥平面VEB；（4分）
②解：△VBE中，BE=VE=$\sqrt{5}$，VB=2$\sqrt{3}$，S_△VBE=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$，
因?yàn)镾_△VAD=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
所以平面VEB與平面VAD所成二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$；（8分）
③解：因?yàn)閂、D、C、B四點(diǎn)在同一個(gè)球面上，
所以VB是球的直徑，VB=2$\sqrt{3}$，
所以S=4π×3=12π．（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行，考查二面角的余弦值、球的球面面積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．