Question

14．已知函數(shù)f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3
（1）用五點(diǎn)法畫出它在一個(gè)周期內(nèi)的閉區(qū)間上的圖象；

（2）指出f（x）的周期、振幅、初相、對(duì)稱軸；
（3）求此函數(shù)的最大值、最小值及相對(duì)應(yīng)自變量x的集合；
（4）說明此函數(shù)圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)怎樣的變換得到．

Answer 1

分析 （1）利用五點(diǎn)法，可得函數(shù)的圖象；
（2）利用函數(shù)解析式可知周期、振幅、初相、對(duì)稱軸；
（3）利用函數(shù)的圖象，可得f（x）最值及x的集合．
（4）利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論

解答 解：（1）列表如下：

x	$-\frac{π}{3}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{8π}{3}$	$\frac{11π}{3}$
$\frac{x}{2}+\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	3	6	3	0	3

…（5分）；
（2）∴其周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}=4π$，振幅A=3，初相φ=$\frac{π}{6}$，由（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），得x=2kπ+$\frac{2π}{3}$（k∈Z）即為對(duì)稱軸
（3）當(dāng)sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=1時(shí)函數(shù)的最大值為3+3=6，此時(shí)（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），解得x的集合為{x|x=4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z}；
當(dāng)sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=-1時(shí)，函數(shù)的最小值為-3+3=0；此時(shí)（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z），解得x 的集合為{x|x=4kπ-$\frac{4π}{3}$，k∈Z}…（8分）；
（4）①由y=sinx的圖象上各點(diǎn)向左平移ϕ=$\frac{π}{6}$個(gè)長度單位，得y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
②由y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的圖象；
③由y=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），得y=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的圖象；
④由y=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的圖象上各點(diǎn)向上平移3個(gè)長度單位，得y=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3的圖象．

點(diǎn)評(píng) 本題考查用五點(diǎn)法作圖，著重考查正弦函數(shù)的性質(zhì)與作圖能力，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．