Question

4．如圖，已知直線y=$\frac{1}{2}$x與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（-4，-2），C為雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若△AOC面積為6，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（　　）

• A． （4，2）
• B． （2，3）
• C． （3，4）
• D． （2，4）

Answer 1

分析 先求出雙曲線的函數(shù)解析式為y=$\frac{8}{x}$，再聯(lián)立方程組求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，根據(jù)S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE=6，列出方程即可解決．

解答 解：∵點(diǎn)B（-4，-2）在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上，
∴k=-2×（-4）=8，
∴雙曲線的函數(shù)解析式為y=$\frac{8}{x}$，
聯(lián)立方程組得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，取x＞0，解得x=4，y=2．
∴A（4，2）．
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于F，
∴OE=4，AE=2，
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，$\frac{8}{a}$），則OF=a，CF=$\frac{8}{a}$，
則S_△AOC=S_△COF+S_梯形ACFE-S_△AOE，
=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{8}{a}$+$\frac{1}{2}$（2+$\frac{8}{a}$）（4-a）-$\frac{1}{2}$×4×2
=$\frac{16-{a}^{2}}{a}$，
∵△AOC的面積為6，
∴$\frac{16-{a}^{2}}{a}$=6，
整理得a²+6a-16=0，
解得a=2或-8（舍棄），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)、解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)利用分割法求四邊形面積，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，