Question

9．某校高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)體能測(cè)試的成績(jī)（百分制）分布在[40，100]內(nèi)，同時(shí)為了解學(xué)生愛(ài)好數(shù)學(xué)的情況，從中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生，這n名學(xué)生體能測(cè)試成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，各分?jǐn)?shù)段的“愛(ài)好數(shù)學(xué)”的人數(shù)情況如表所示．

組數(shù)	體能成績(jī)分組	愛(ài)好數(shù)學(xué)的人數(shù)	占本組的頻率
第一組	[50，60）	100	0.5
第二組	[60，70）	195	p
第三組	[70，80）	120	0.6
第四組	[80，90）	a	0.4
第五組	[90，100]	30	0.3

（1）求n、p的值；
（2）用分層抽樣的方法，從體能成績(jī)?cè)赱70，90）的“愛(ài)好數(shù)學(xué)”學(xué)生中隨機(jī)抽取6人參加某項(xiàng)活動(dòng)，現(xiàn)從6人中隨機(jī)選取2人擔(dān)任領(lǐng)隊(duì)，記體能成績(jī)?cè)赱80，90）內(nèi)領(lǐng)隊(duì)人數(shù)為X人，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題知第一組的頻率為0.02×10=0.2、人數(shù)為$\frac{100}{0.5}$=200，故n=1000．利用第二組的頻率為1-（0.02+0.025+0.015+0.01）×10=0.3，求出p；
（2）先計(jì)算抽出的6人中有4人體能成績(jī)?cè)赱70，80），2人體能成績(jī)?cè)赱80，90）．確定X的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由題知第一組的頻率為0.02×10=0.2、人數(shù)為$\frac{100}{0.5}$=200，故n=1000．
第二組的頻率為1-（0.02+0.025+0.015+0.01）×10=0.3
∴p=$\frac{195}{1000×0.3}$=0.65．…（6分）
（2）由題a=60，
∴抽出的6人中有4人體能成績(jī)?cè)赱70，80），2人體能成績(jī)?cè)赱80，90）．
則X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$…（9分）
分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{6}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

EX=0×$\frac{6}{15}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等可能事件的概率以及頻率分布表，考查X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解題的關(guān)鍵是理解概率問(wèn)題中事件中包含的基本事件的個(gè)數(shù)和求法，以及能利用頻率分布表的特征計(jì)算各組的頻率與頻數(shù)．