Question

2．已知平面上的動點M（x，y）到兩定點F₁（-4，0），F(xiàn)₂（-1，0）的距離之比為2．
（Ⅰ）試求動點M的軌跡方程；
（Ⅱ）已知點A（0，2），求∠F₁AF₂的平分線所在的直線AB的方程（其中點B是直線AB與x軸的交點）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若點C是軌跡M上異于A，B的任意一點，試求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）由題意|MF₁|=2|MF₂|，由于兩點的距離公式，化簡整理，即可得到所求軌跡方程；
（II）設(shè)點B（t，0）（顯然t＜0），則點B到直線AF₁，AF₂的距離相等，求得直線方程和點到直線的距離，解方程即可得到所求直線方程；
（III）顯然A，B兩點均在圓x²+y²=4上，當(dāng)過C的直線和直線AB平行，且為圓的切線，則C到直線AB的距離d最大．求得O到直線AB的距離，即可得到d的最大值，進(jìn)而得到△ABC的面積最大值．

解答 解：（I）由題意|MF₁|=2|MF₂|，可得$\sqrt{（x+4）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，
兩邊平方化簡可得，x²+y²=4，
即動點M的軌跡方程為圓x²+y²=4；
（II）設(shè)點B（t，0）（顯然t＜0），
則點B到直線AF₁，AF₂的距離相等，
直線AF₁，AF₂的方程分別為y=$\frac{1}{2}$x+2，y=2x+2，
$\frac{|t+4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2t+2|}{\sqrt{5}}$，
解得t=-2，
故直線AB的方程為：x-y+2=0．
（III）顯然A，B兩點均在圓x²+y²=4上，
當(dāng)過C的直線和直線AB平行，且為圓的切線，則C到直線AB的距離d最大．
由于O到直線AB：y=x+2的距離為$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有d=2+$\sqrt{2}$，
故△ABC的面積的最大值為$\frac{1}{2}$×（2$+\sqrt{2}$）×2$\sqrt{2}$=2+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式和角平分線的性質(zhì)和距離最大問題，考查運算求解能力，屬于中檔題．