Question

14．記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足a_n+S_n=An²+Bn+C（n∈N^*），其中A、B、C為常數(shù)．
（1）已知A=B=0，a₁≠0，求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求證：3A+C=B；
（3）已知a₁=1，B＞0且B≠1，B+C=2，若$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$＜λ對(duì)n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a_n+S_n=C（n∈N^*）得：a_n+1+S_n+1=C，兩式相減后根據(jù)等比數(shù)列的定義，可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）由題意設(shè)公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，求出a_n、S_n并代入已知的式子化簡(jiǎn)，利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等證明等式成立；
（3）把n=1代入遞推公式，結(jié)合a₁=1和B+C=2求A，代入a_n+S_n=An²+Bn+C化簡(jiǎn)，由數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式關(guān)系化簡(jiǎn)，利用構(gòu)造法和等比數(shù)列的定義求出a_n，再代入$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$分離常數(shù)，對(duì)B進(jìn)行分類討論，分別利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和B的范圍求出λ的范圍．

解答 證明：（1）由A=B=0得，a_n+S_n=C（n∈N^*），①
∴a_n+1+S_n+1=C． ②…2分
②-①式得：2a_n+1=a_n，
又a₁≠0，所以數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）由題意知：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
∴a_n=a₁+（n-1）d，${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$，
∵a_n+S_n=An²+Bn+C（n∈N^*），
∴a₁+（n-1）d+$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$=An²+Bn+C，
化簡(jiǎn)得：$\frachbz6n6d{2}$n²+$（{a}_{1}+\frac{1}{2}d）n$+a₁-d=An²+Bn+C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\fracjslzinw{2}=A}\\{{a}_{1}+\frac{1}{2}d=B}\\{{a}_{1}-d=C}\end{array}\right.$，∴3A+C=$\frac{3d}{2}+{a}_{1}-d$=${a}_{1}+\frac{1}{2}d$=B，
即3A+C=B；
解：（3）∵a₁=1，B+C=2，a_n+S_n=An²+Bn+C（n∈N^*），
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=A+B+C，則2=A+B+C，有A=0，
∴a_n+S_n=Bn+（2-B），則a_n+1+S_n+1=B（n+1）+（2-B），
兩式相減得：2a_n+1-a_n=B，即a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+B），
∴a_n+1-B=$\frac{1}{2}$（a_n-B），
又a₁=1，B≠1，則a₁-B≠0，則數(shù)列{a_n-B}是以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-B=（a₁-B）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1-B}{{2}^{n-1}}$，則a_n=$\frac{1-B}{{2}^{n-1}}$+B，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{\frac{1-B}{{2}^{n-1}}+B}{\frac{1-B}{{2}^{n}}+B}$=$\frac{2（1-B）+B•{2}^{n}}{1-B+B•{2}^{n}}$=1+$\frac{1-B}{1-B+B•{2}^{n}}$，
又B＞0且B≠1，有以下兩種情況：
①當(dāng)0＜B＜1時(shí)，1-B＞0，則y=$\frac{1-B}{1-B+B•{2}^{n}}$隨著n的增大而減小，
則$\frac{1-B}{1-B+B•{2}^{n}}$≤$\frac{1-B}{1+B}$，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}≤1+\frac{1-B}{1+B}$=$\frac{2}{1+B}$，
∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}＜λ$對(duì)n∈N^*恒成立，∴$λ＞\frac{2}{1+B}$；
②當(dāng)B＞1時(shí)，1-B＜0，則y=$\frac{1-B}{1-B+B•{2}^{n}}$隨著n的增大而增大，
∴$\frac{1-B}{1+B}≤$$\frac{1-B}{1-B+B•{2}^{n}}$＜0，則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}＜1+$0=1，
∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}＜λ$對(duì)n∈N^*恒成立，∴λ≥1，
綜上所述，當(dāng)0＜B＜1時(shí)，$λ＞\frac{2}{1+B}$；當(dāng)B＞1時(shí)，λ≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題是數(shù)列綜合題，考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等，數(shù)列的函數(shù)特征，以及構(gòu)造法、分離常數(shù)法，分類討論思想，考查由所給的遞推關(guān)系證明數(shù)列的性質(zhì)，難度較大，綜合性很強(qiáng)，對(duì)答題者探究的意識(shí)與探究規(guī)律的能力要求較高，是一道能力型題．