Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax³+2x-a，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若a=n且n∈N^*，設(shè)x_n是函數(shù)f_n（x）=nx³+2x-n的零點(diǎn)．
（i）證明：n≥2時(shí)存在唯一x_n且${x}_{n}∈（\frac{n}{n+1}，1）$；
（i i）若b_n=（1-x_n）（1-x_n+1），記S_n=b₁+b₂+…+b_n，證明：S_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)f（x）求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得，f_n（x）=nx³+2x-n在R上單調(diào)遞增，證明f_n（$\frac{n}{n+1}$）=-$（\frac{n}{n+1}）^{3}（\frac{{n}^{2}-n-1}{{n}^{2}}）$即可．
（ii）利用數(shù)列裂項(xiàng)求和和不等式放縮技巧證明即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2，
若a≥0，則f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
若a＜0，令f'（x）＞0，∴$x＞\sqrt{\frac{2}{3a}}$或$x＜-\sqrt{\frac{2}{3a}}$，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（-∞，\sqrt{\frac{2}{3a}}）$和$（\sqrt{\frac{2}{3a}}，+∞）$；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得，f_n（x）=nx³+2x-n在R上單調(diào)遞增，
又f_n（1）=n+2-n=2＞0，
f_n（$\frac{n}{n+1}$）=$n（\frac{n}{n+1}）^{3}+2（\frac{n}{n+1}）-n$=$n（\frac{n}{n+1}）^{3}+2（\frac{n}{n+1}）-n$
=$（\frac{n}{n+1}）^{3}（n+\frac{2（n+1）^{2}}{{n}^{2}}\frac{（n+1）^{3}}{{n}^{2}}）$=-$（\frac{n}{n+1}）^{3}（\frac{{n}^{2}-n-1}{{n}^{2}}）$
當(dāng)n≥2時(shí)，g（n）=n²-n-1＞0，${f}_{n}（\frac{n}{n+1}）＜0$，
n≥2時(shí)存在唯一x_n且${x}_{n}∈（\frac{n}{n+1}，1）$
（i i）當(dāng)n≥2時(shí)，${x}_{n}∈（\frac{n}{n+1}，1）$，∴$0＜1-{x}_{n}＜\frac{1}{n+1}$（零點(diǎn)的區(qū)間判定）
∴$_{n}＜\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，（數(shù)列裂項(xiàng)求和）
∴${S}_{n}=_{1}+_{2}+…+_{n}＜_{1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}$，
又f1（x）=x3+2x-1，${f}_{1}（\frac{1}{3}）=-\frac{8}{27}＜0，{f}_{1}（\frac{2}{3}）=\frac{17}{27}＞0$，（函數(shù)法定界）
$\frac{1}{3}＜1-{x}_{1}＜\frac{2}{3}$，又$0＜1-{x}_{2}＜\frac{1}{3}$，
∴$0＜（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）＜\frac{2}{9}$，
∴${S}_{n}=_{1}+_{2}+…+_{n}＜\frac{2}{9}$$+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}＜1-\frac{1}{n+1}＜1$，（不等式放縮技巧）
命題得證．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的求單調(diào)區(qū)間的方法和利用數(shù)列的裂項(xiàng)求和和不等式的放縮求和技巧解題，屬于難題．