Question

14．在銳角△ABC中，|BC|=$\frac{1}{2}$，∠B=2∠A，則|AC|的取值范圍是$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)銳角△ABC和∠B=2∠A求出∠C，列出不等式組求出A的范圍，根據(jù)正弦定理及二倍角的正弦公式化簡，根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性求出|AC|的取值范圍．

解答 解：∵△ABC是銳角三角形，且∠B=2∠A，
∴∠C=π-∠A-∠B=π-3∠A，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜2∠A＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3∠A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{π}{6}＜∠A＜\frac{π}{4}$，
又|BC|=$\frac{1}{2}$，由正弦定理得$\frac{|BC|}{sin∠A}=\frac{|AC|}{sin∠B}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}}{sin∠A}=\frac{|AC|}{2sin∠Acos∠A}$，得|AC|=cos∠A，
∴|AC|的取值范圍是$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
故答案為：$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理，以及二倍角的正弦公式化簡求值，解題關(guān)鍵是根據(jù)銳角三角形、內(nèi)角和定理求出角的范圍．