Question

4．已知函數(shù)f（x）=2${\;}^{sin（2x-\frac{π}{4}）}$．
（1）這個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù)？為什么？
（2）求它的單調(diào)增區(qū)間和最大值．

Answer 1

分析 （1）由于f（x+π）=f（x），即可得出．
（2）令u（x）=$sin（2x-\frac{π}{4}）$，則f（x）=2^u（x），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)u（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，再利用指數(shù)函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵f（x+π）=${2}^{sin（2x+2π-\frac{π}{4}）}$=2${\;}^{sin（2x-\frac{π}{4}）}$=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為π的函數(shù)．
（2）令u（x）=$sin（2x-\frac{π}{4}）$，則f（x）=2^u（x），
由$-\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得kπ$-\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z．
∴u（x）=$sin（2x-\frac{π}{4}）$的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ$-\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z．
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得：f（x）=2^u（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ$-\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z．
當(dāng)$sin（2x-\frac{π}{4}）$=1，即2x-$\frac{π}{4}$=$2kπ+\frac{π}{2}$，解得x=kπ+$\frac{3π}{8}$時(shí)，f（x）取得最大值2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．