Question

6．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知$\frac{4b}{3cosB}$=$\frac{c}{sinC}$，若a+c=1，則b的最小值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 由已知等式結合正弦定理求得tanB，進一步求出cosB的值，然后由余弦定理結合基本不等式求得b．

解答 解：在△ABC中，由$\frac{4b}{3cosB}$=$\frac{c}{sinC}$，得$\frac{4sinB}{3cosB}=\frac{sinC}{sinC}=1$，
∴tanB=$\frac{3}{4}$，則B為銳角，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{sinB}{cosB}=\frac{3}{4}}\\{si{n}^{2}B+co{s}^{2}B=1}\end{array}\right.$，解得cosB=$\frac{4}{5}$．
又a+c=1，
∴$^{2}={a}^{2}+{c}^{2}-2ac•cosB={a}^{2}+{c}^{2}-2ac×\frac{4}{5}$=${a}^{2}+{c}^{2}-\frac{8}{5}ac$
=$（a+c）^{2}-\frac{18}{5}ac$$≥（a+c）^{2}-\frac{18}{5}×\frac{（a+c）^{2}}{4}$=$1-\frac{18}{5}×\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$．
∴$b=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理的應用，是中檔題．