【題目】設m∈R,函數(shù)f(x)=ex﹣m(x+1) m2(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))
(Ⅰ)若m=2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知實數(shù)x1 , x2滿足x1+x2=1,對任意的m<0,不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,求x1的取值范圍;
(Ⅲ)若函數(shù)f(x)有一個極小值點為x0 , 求證f(x0)>﹣3,(參考數(shù)據(jù)ln6≈1.79)
【答案】解:(Ⅰ)m=2時,f(x)=ex﹣2x﹣1,f′(x)=ex﹣2,
令f′(x)>0,解得:x>ln2,
故函數(shù)f(x)在[ln2,+∞)遞增;
(Ⅱ)∵不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,x1+x2=1,
∴2(x1﹣1)m﹣( ﹣ )+e﹣1<0對任意m<0恒成立,
令g(m)=2(x1﹣1)m﹣( ﹣ )+e﹣1,
當2(x1﹣1)=0時,g(m)=0<0不成立,
則 ,解得:x1>1;
(Ⅲ)由題意得f′(x)=ex﹣m,f′(x0)=0,故 =m,
f(x0)= ﹣m(x0+1)+ m2= m2﹣mlnm,m>0,
記h(m)= m2﹣mlnm,m>0,
h′(m)= m﹣lnm﹣1,h′′(m)= ﹣ ,
當0<m<2時,h′′(m)<0,當m>2時,h′′(m)>0,
故函數(shù)h′(x)在(0,2)遞減,在(2,+∞)遞增,
如圖所示:
[h′(m)]min=h′(2)=﹣ln2<0,
又當m→0時,h′(m)>0,m→+∞,h′(m)>0,
故函數(shù)h′(m)=0有2個根,記為m1,m2(m1<2<m2<6),(h′(6)>0),
故h(m)在(0,m1)遞增,在(m1,m2)遞減,在(m2,+∞)遞增,
又當m→0時,h(m)>0,h(m)在m2處取極小值,
由h′(m2)=0, m2﹣lnm2﹣1=0,lnm2= m2﹣1,
故h(m2)= ﹣m2lnm2= ﹣m2( m2﹣1)
=﹣ +m2=﹣ +1∈(﹣3,1),
故f(x0)>﹣3
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可;(Ⅱ)問題轉化為2(x1﹣1)m﹣( ﹣ )+e﹣1<0對任意m<0恒成立,令g(m)=2(x1﹣1)m﹣( ﹣ )+e﹣1,得到關于x1的不等式組,解出即可;(Ⅲ)求出f(x0)的解析式,記h(m)= m2﹣mlnm,m>0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h(m)的取值范圍,從而求出f(x0)的范圍,證明結論即可.
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】三人獨立破譯同一份密碼.已知三人各自破譯出密碼的概率分別為 ,且他們是否破譯出密碼互不影響. (Ⅰ)求恰有二人破譯出密碼的概率;
(Ⅱ)“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個大?說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中點.
(1)求證:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若二面角P-AC-E的余弦值為,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) f(x)=x﹣ln x﹣2.
(Ⅰ)求函數(shù) f ( x)的最小值;
(Ⅱ)如果不等式 x ln x+(1﹣k)x+k>0(k∈Z)在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,求k的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在12件同類型的零件中有2件次品,抽取3次進行檢驗,每次抽取1件,并且取出后不再放回,若以ξ和η分別表示取到的次品數(shù)和正品數(shù).
(1)求ξ的分布列、均值和方差;
(2)求η的分布列、均值和方差.
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【題目】已知冪函數(shù)f(x)=,其中2<m<2,m∈Z,滿足:
(1)f(x)是區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù);
(2)對任意的x∈R,都有f(x) +f(x)=0.
求同時滿足條件(1)、(2)的冪函數(shù)f(x)的解析式,并求x∈[0,3]時,f(x)的值域.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為矩形,M、N分別是AB、PC的中點.
(1)求證:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求證:MN⊥平面PCD.
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【題目】在區(qū)間(﹣2,a)(a>0)上任取一個數(shù)m,若函數(shù)f(x)=3x+m﹣3 在區(qū)間[1,+∞)無零點的概率不小于 ,則實數(shù)a能取的最小整數(shù)是( )
A.1
B.3
C.5
D.6
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