Question

7．已知橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F₂，過(guò)點(diǎn)F₂作垂直于x軸的直線(xiàn)交該橢圓于M、N兩點(diǎn)，直線(xiàn)AM的斜率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓Γ的離心率；
（2）若△AMN的外接圓在點(diǎn)M處的切線(xiàn)與橢圓交于另一點(diǎn)D，△F₂MD的面積為$\frac{6}{7}$，求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）由題意M（c，$\frac{^{2}}{a}$），因?yàn)锳（-a，0），所以$\frac{\frac{^{2}}{a}}{a+c}=\frac{1}{2}$，$\frac{a-c}{a}=1-e=\frac{1}{2}$，可得橢圓Γ的離心率
（2）由（1）可知，a=2c，由b²=a²-c²=4c²-c²=3c²，∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，
M（c，$\frac{3}{2}$c），A（-2c，0），設(shè)外接圓的圓心為T(mén)（t，0），由丨TA丨=丨TM丨得（t+2c）²=（t-c）²+$\frac{9}{4}$c²，解得t=-$\frac{c}{8}$．
求得切線(xiàn)方程，代入橢圓方程，求得丨MD丨，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式及三角形面積公式，代入即可求得c的值，求得橢圓方程．

解答 解：（1）由題意M（c，$\frac{^{2}}{a}$），因?yàn)锳（-a，0），所以$\frac{\frac{^{2}}{a}}{a+c}=\frac{1}{2}$，$\frac{a-c}{a}=1-e=\frac{1}{2}$，e=$\frac{1}{2}$，∴橢圓Γ的離心率為$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可知，a=2c，由b²=a²-c²=4c²-c²=3c²，∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，
M（c，$\frac{3}{2}$c），A（-2c，0），設(shè)外接圓的圓心為T(mén)（t，0），由丨TA丨=丨TM丨得（t+2c）²=（t-c）²+$\frac{9}{4}$c²，解得t=-$\frac{c}{8}$．
k_TM=$\frac{\frac{3}{2}c}{c+\frac{c}{8}}=\frac{4}{3}$，∴切線(xiàn)斜率k=-$\frac{3}{4}$，∴∴切線(xiàn)方程為3x+4y-9c=0，
代入橢圓方程消y得7x²-18cx+11c²=0，
△=18²c²-4×7×11c²=16c²＞0，x_D=$\frac{11c}{7}$，y_D=$\frac{25c}{14}$，
∴丨MD丨=$\sqrt{（{x}_{C}-{x}_{D}）^{2}+（{y}_{C}-{y}_{D}）^{2}}=\frac{5c}{7}$，F(xiàn)₂點(diǎn)到CD的距離d=$\frac{6c}{5}$，
由S=$\frac{1}{2}$丨CD丨•d，得$\frac{1}{2}×\frac{5c}{7}×\frac{6c}{5}=\frac{3}{7}{c}^{2}=\frac{6}{7}$，∴c²=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$

點(diǎn)評(píng) 題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式及三角形面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．