Question

已知兩點(diǎn)M（0，2），N（0，-2），且點(diǎn)P到這兩點(diǎn)的距離和等于6．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若A，B是動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)M分有向線段AB的比為2，求線段AB所在直線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線的一般式方程

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意得，|MN|=4，|PM|+|PN|=6＞4，設(shè)P（x，y），則由橢圓的定義可得，P的軌跡為橢圓，根據(jù)題意的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得；
（2）可設(shè)直線AB：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的坐標(biāo)公式，解關(guān)于x₁，x₂，k的方程，即可得到k，進(jìn)而得到所求直線方程．

解答： 解：（1）由題意得，|MN|=4，|PM|+|PN|=6＞4，
設(shè)P（x，y），則由橢圓的定義可得，P的軌跡為橢圓，
且焦點(diǎn)為M，N，則2a=6，即a=3，又c=2，
則b²=a²-c²=5，
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為：

y2

9

+

x2

5

=1；
（2）可設(shè)直線AB：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+2 x2 5 + y2 9 =1

消去y得，（9+5k²）x²+20kx-25=0，
則x₁+x₂=-

20k

9+5k2

，①x₁x₂=

-25

9+5k2

，②
又

AM

=2

MB

，即有-x₁=2x₂，③
③分別代入①、②，可得

2×400k2

(9+5k2)2

=

25

9+5k2

，
解得，k=±

3

3

．
則直線AB的方程為：y=±

3

3

x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、性質(zhì)和方程，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理，及向量的坐標(biāo)解決問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．