Question

6．設(shè)m、n分別是方程log₂₀₁₃x+x-9=0和2013^x+x-9=0的根，則m+n=9．

Answer 1

分析 由方程的根浴函數(shù)零點(diǎn)間的關(guān)系可得m為函數(shù)y=log₂₀₁₃x與y=-x+9圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，n是函數(shù)y=2013^x與y=-x+9圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由y=log₂₀₁₃x與y=2013^x互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y=x對稱，可求得直線y=x和直線y=-x=9的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則m+n的值可求．

解答 解：由log₂₀₁₃x+x-9=0，得log₂₀₁₃x=-x+9，
∵m是方程log₂₀₁₃x+x-9=0的根，∴m為函數(shù)y=log₂₀₁₃x與y=-x+9圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
同理n是函數(shù)y=2013^x與y=-x+9圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∵y=log₂₀₁₃x與y=2013^x互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y=x對稱，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+9}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得：x=$\frac{9}{2}$，
∴m+n=$\frac{9}{2}×2=9$．
故答案為：9．

點(diǎn)評 本題考查了互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖象間的關(guān)系，考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，是中檔題．