Question

14．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0且ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象，如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用五點(diǎn)作圖法畫(huà)出函數(shù)y=f（x）在（0，$\frac{5π}{3}$）內(nèi)的圖象；
（3）若方程f（x）=a在（0，$\frac{5π}{3}$）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的最值求出A，根據(jù)五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用五點(diǎn)作圖法畫(huà)出函數(shù)y=f（x）在（0，$\frac{5π}{3}$）內(nèi)的圖象．
（3）由題意可得，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a在（0，$\frac{5π}{3}$）上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得a的范圍．

解答 解：（1）由函數(shù)的圖象可得A=1，$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-（-$\frac{π}{3}$），求得ω=1．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得1×（-$\frac{π}{3}$）+φ=0，求得φ=$\frac{π}{3}$，∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（2）列表：

x+$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$	$\frac{5π}{3}$
y=f（x）	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	0	-1	0

作圖：
（3）∵方程f（x）=a在（0，$\frac{5π}{3}$）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，∴函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a在（0，$\frac{5π}{3}$）上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
結(jié)合圖象可得-1＜a＜0 或$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，用五點(diǎn)法作三角函數(shù)的圖象，方程解的個(gè)數(shù)的判斷方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．