Question

16．如圖，已知Rt△ABC中，點O為斜邊BC的中點，且AB=8，AC=6，點E為邊AC上一點，且$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AC}$，若$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BE}=-20$，則λ=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件及圖形得出：$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，并且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，所以由$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BE}=-20$即可得到$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•（-\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}）$=-20，進行數(shù)量積的運算即可求得λ．

解答 解：$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$；
∵∠BAC=90°，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$；
又$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BE}=-20$；
∴$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•（-\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}）=\frac{1}{2}$$（-{\overrightarrow{AB}}^{2}+λ{\overrightarrow{AC}}^{2}）=\frac{1}{2}（-64+36λ）=-20$；
∴$λ=\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 考查向量加法的平行四邊形法則，向量加法的幾何意義，以及數(shù)量積的運算，兩非零向量垂直的充要條件．