Question

13．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是BC，C₁D₁的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面D₁DB；
（2）求異面直線EF和BD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，取B₁D₁的中點(diǎn)M，連接MF，MB．利用正方體的性質(zhì)與三角形中位線定理可得$MF\underset{∥}{=}BE$，
是四邊形BEFM是平行四邊形，可得EF∥BM，利用線面平行的判定定理即可證明EF∥平面D₁DB．
（2）由（1）可知：∠MBD₁即為異面直線EF和BD₁所成角．在△MBD₁中利用余弦定理即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，取B₁D₁的中點(diǎn)M，連接MF，MB．
∵E，F(xiàn)分別是BC，C₁D₁的中點(diǎn)，
∴$MF\underset{∥}{=}\frac{1}{2}{B}_{1}{C}_{1}$$\underset{∥}{=}$BE，
∴$MF\underset{∥}{=}BE$，
∴四邊形BEFM是平行四邊形，
∴EF∥BM，
而EF?平面D₁DB，MB?平面D₁DB；
∴EF∥平面D₁DB．
（2）解：由（1）可知：∠MBD₁即為異面直線EF和BD₁所成角．
不妨設(shè)AB=2.$MB=\sqrt{M{B}_{1}^{2}+{B}_{1}{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
MD₁=$\sqrt{2}$，$B{D}_{1}=\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴cos∠MBD₁=$\frac{（2\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}{2×2\sqrt{3}×\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴異面直線EF和BD₁所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方體的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、異面直線所成的夾角、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．