Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿(mǎn)足：|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=4，且$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為60°．
（1）求（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）⊥（λ$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），求λ的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值，可得（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）的值．
（2）由條件利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，可得$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•（{λ\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）=0$，由此求得λ的值．

解答 解：（1）由題意得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|cos{60°}=1×4×\frac{1}{2}=2$，
∴$（{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}）•（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=2{\overrightarrow a^2}+\overrightarrow a•\overrightarrow b-{\overrightarrow b^2}=2+2-16=-12$．
（2）∵$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥（{λ\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）$，∴$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）•（{λ\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）=0$，
∴$λ{(lán)\overrightarrow a^2}+（{λ-2}）\overrightarrow a•\overrightarrow b-2{\overrightarrow b^2}=0$，∴λ+2（λ-2）-32=0，
∴λ=12．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．