20．已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為2的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)．
（1）求|AB|．
（2）求AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)及|FM|．

分析 （1）先根據(jù)拋物線方程求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2的值，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義可知|AB|=x1+$\frac{p}{2}$+x2+$\frac{p}{2}$=x1+x2+p得答案；
（2）利用（1），可得AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求出|FM|．

解答 解：（1）拋物線焦點(diǎn)為（2，0）
則直線方程為y=2x-4，代入拋物線方程得x2-6x+4=0
∴x1+x2=6
根據(jù)拋物線的定義可知|AB|=x1+$\frac{p}{2}$+x2+$\frac{p}{2}$=x1+x2+p=6+4=10．
（2）AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為2×3-4=2，∴M（3，2），
∴|FM|=$\sqrt{（3-2）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{5}$

點(diǎn)評 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力．解題的關(guān)鍵是靈活利用了拋物線的定義．

練習(xí)冊系列答案
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10．已知函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，sin2x），$\overrightarrow{n}$=（2cos2x+1，1），x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的對稱軸方程；
（2）若x1，x2$∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，x1≠x2，且滿足f（x1）+f（x2）=4$\sqrt{3}$，求|x1-x2|的最大值．

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11．已知數(shù)列{an}和{bn}滿足下列關(guān)系式：a1=0，b1=2，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=4{a}_{n}+_{n，}}\\{_{n+1}=3{a}_{n}+6_{n}}\end{array}\right.$
（1）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=bn+λan，證明存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{cn}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式．

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8．我們用card（A）來表示有限集合A中元素的個數(shù)，例如，A={a，b，c}．則card（A）=3，設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，x≤0}\\{lgx，x＞0}\end{array}\right.$，若A={x|f（f（x）=0，x∈R}．則card（A）=（　�。�
A．6B．7C．8D．9

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15．已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，$AB=\sqrt{2}$，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)．
（1）求證：AM∥平面BDE；
（2）求證：AM⊥平面BDF．
（3）求直線DE與AM所成角的余弦值．

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5．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中．
（1）求異面直線A1B與AD1所成的角；
（2）求證：A1D⊥平面ABD1．

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12．設(shè)數(shù)列{xn}的各項都為正數(shù)且x1=1．如圖，△ABC所在平面上的點(diǎn)Pn（n∈N*）均滿足△PnAB與△PnAC的面積比為3：1，若（2xn+1）$\overrightarrow{{P}_{n}C}$+$\overrightarrow{{P}_{n}A}$=$\frac{1}{3}$xn+1$\overrightarrow{{P}_{n}B}$，則x5的值為31．

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9．已知p：$\frac{2x-1}{x+2}$＜1，q：|x-a|＜2．若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．

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10．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$ax2+bx（a≠0）．
（I）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y=3x-$\frac{3}{2}$b，求a，b的值；
（Ⅱ）若當(dāng)a=2時，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=1nx的圖象C1與函數(shù)h（x）=f（x）-ag（x）的圖象C2交于點(diǎn)P、Q，過線段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線分別交C1、C2于點(diǎn)M、N，問是否存在點(diǎn)R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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