Question

11．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足下列關(guān)系式：a₁=0，b₁=2，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=4{a}_{n}+_{n，}}\\{_{n+1}=3{a}_{n}+6_{n}}\end{array}\right.$
（1）設數(shù)列{c_n}滿足c_n=b_n+λa_n，證明存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列的必要條件是${{c}_{2}}^{2}={c}_{1}{c}_{3}$，由此求了λ=-3或λ=1．當λ=-3時，c_n=b_n-3a_n，$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=3，{c_n}是首項2，公比為3的等比數(shù)列；當λ=1時，c_n=b_n+a_n，$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=7，{c_n}是首項2，公比為7的等比數(shù)列．
（2）由$_{n}-3{a}_{n}=2×{3}^{n-1}$，$_{n}+{a}_{n}=2×{7}^{n-1}$，能求出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式．

解答 解：（1）數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列的必要條件是${{c}_{2}}^{2}={c}_{1}{c}_{3}$，
∵數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足下列關(guān)系式：a₁=0，b₁=2，且$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=4{a}_{n}+_{n，}}\\{_{n+1}=3{a}_{n}+6_{n}}\end{array}\right.$
∴a₂=4×0+2=2，b₂=3×0+6×2=12，
a₃=4×2+12=20，b₃=3×2+6×12=78，
∴c₁=2+λ×0=2，c₂=12+λ×2=2λ+12，c₃=78+20λ，
∴（2λ+12）²=2（78+20λ），
解得λ=-3或λ=1．
當λ=-3時，c_n=b_n-3a_n，
$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{_{n+1}-3{a}_{n+1}}{_{n}-3{a}_{n}}$=$\frac{3{a}_{n}+6_{n}-12{a}_{n}-3_{n}}{_{n}-3{a}_{n}}$=$\frac{3_{n}-9{a}_{n}}{_{n}-3{a}_{n}}$=3，
∴λ=-3時，{c_n}是首項2，公比為3的等比數(shù)列；
當λ=1時，c_n=b_n+a_n，
$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{_{n+1}+{a}_{n+1}}{_{n}+{a}_{n}}$=$\frac{4{a}_{n}+_{n}+3{a}_{n}+6_{n}}{_{n}+{a}_{n}}$=$\frac{7_{n}+7{a}_{n}}{_{n}+{a}_{n}}$=7，
∴λ=1時，{c_n}是首項2，公比為7的等比數(shù)列．
（2）λ=-3時，$_{n}-3{a}_{n}=2×{3}^{n-1}$，①
λ=1時，$_{n}+{a}_{n}=2×{7}^{n-1}$，②
取立①②，得：${a}_{n}=\frac{1}{2}（{7}^{n-1}-{3}^{n-1}）$，b_n=$\frac{3}{2}×{7}^{n-1}+\frac{1}{2}×{3}^{n-1}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．