Question

10．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$ax²+bx（a≠0）．
（I）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程為y=3x-$\frac{3}{2}$b，求a，b的值；
（Ⅱ）若當a=2時，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）設函數(shù)g（x）=1nx的圖象C₁與函數(shù)h（x）=f（x）-ag（x）的圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，求出切線的斜率，切點，由已知切線方程，可得a，b的方程，解得即可；
（Ⅱ）求出a=2的導數(shù)，由f（x）是增函數(shù)，則有f′（x）≥0在x＞0恒成立，運用參數(shù)分離，運用基本不等式求得右邊的最小值，即可得到b的范圍；
（Ⅲ）首先設點P、Q的坐標是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂，然后通過導數(shù)公式以及導數(shù)的幾何意義，分別求出曲線C₁在點M處的切線斜率k₁和曲線C₂在點N處的切線斜率k₂，因為兩條切線平行，所以k₁=k₂，解關(guān)于x₁，x₂，a，b的方程，整理成ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$．設t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，則lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$，令F（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)討論問題，根據(jù)其單調(diào)性得出lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，矛盾，因此假設不成立．可得C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$ax²+bx的導數(shù)為f′（x）=$\frac{a}{x}$+ax+b，
在x=1處的切線斜率為k=2a+b，f（1）=$\frac{1}{2}$a+b，
在x=1處的切線方程為y=3x-$\frac{3}{2}$b，即有2a+b=3，$\frac{1}{2}$a+b=3-$\frac{3}{2}$b，
解得a=b=1；
（Ⅱ）若a=2時，函數(shù)f（x）=2lnx+x²+bx的導數(shù)為f′（x）=$\frac{2}{x}$+2x+b，
由f（x）是增函數(shù)，則有f′（x）≥0在x＞0恒成立，
即-$\frac{2}$≤x+$\frac{1}{x}$，由于x+$\frac{1}{x}$≥2（當且僅當x=1取得等號），
則有-$\frac{2}$≤2，解得b≥-4；
（Ⅲ）設點P、Q的坐標是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂
則點M，N的橫坐標為x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
C₁點在M處的切線斜率為k₁=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
C₂點N處的切線斜率為k₂=$\frac{a（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$+b，
假設C₁點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則k₁=k₂
即$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{a（{x}_{1}+{x}_{2}）}{2}$+b，
則$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{a}{2}$（x₂²-x₁²）+b（x₂-x₁）=（$\frac{a}{2}$x₂²+bx₂）-（$\frac{a}{2}$x₁²+bx₁）=y₂-y₁=lnx₂-lnx₁．
∴l(xiāng)n$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$．
設t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，則lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$①
令F（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
則F′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（t+1）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$，
因為t＞1時，F(xiàn)'（t）＞0，
所以F（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
故F（t）＞F（1）=0
則lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$．這與①矛盾，假設不成立．
故C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不平行．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，屬于中檔題．