Question

11．已知函數(shù)f（x）=2e^x-ax-2（x∈R，a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當(dāng)x≥0時，若不等式f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可得出切線方程．
（2）當(dāng)x≥0時，若不等式f（x）≥0恒成立?[f（x）]_min≥0．f′（x）=2e^x-a．對a分類討論：若a≤0，利用單調(diào)性即可得出是否滿足條件．②若 a＞0，由f′（x）=0，解得x=ln$\frac{a}{2}$．即可得出單調(diào)性，對$ln\frac{a}{2}$分類討論即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=2e^x-x-2，f′（x）=2e^x-1，f′（1）=2e-1，
即曲線y=f（x）在x=1處的切線的斜率k=2e-1，又f（1）=2e-3，
故所求的切線方程是y=（2e-1）x-2．
（2）當(dāng)x≥0時，若不等式f（x）≥0恒成立?[f（x）]_min≥0．
易知f′（x）=2e^x-a．
①若a≤0，則f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上單調(diào)遞增；
又f（0）=0，∴當(dāng)x∈[0，+∞）時，f（x）≥f（0）=0，符合題意．
②若 a＞0，由f′（x）=0，解得x=ln$\frac{a}{2}$．
則當(dāng)$x∈（-∞，ln\frac{a}{2}）$時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)$x∈（ln\frac{a}{2}，+∞）$時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴x=$ln\frac{a}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最小值．
當(dāng)$ln\frac{a}{2}≤0$，即0＜a≤2時，當(dāng)x∈[0，+∞）時，f（x）≥f（0）=0，符合題意．
當(dāng)$ln\frac{a}{2}＞0$，即a＞2時，當(dāng)$x∈（0，ln\frac{a}{2}）$時，f（x）單調(diào)遞增，f（x）＜f（0）=0，不符合題意．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．