Question

4．寫出下列函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)增區(qū)間．
（1）y=0.7${\;}^{1+2x-{x}^{2}}$；
（2）y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\sqrt{1-{x}^{2}}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）y=0.7${\;}^{1+2x-{x}^{2}}$的定義域?yàn)椋?∞，+∞），
設(shè)t=1+2x-x²，則t=-（x-1）²+2≤2，
∴y=0.7^t≥0.7²=0.49．即函數(shù)的值域?yàn)閇0.49，+∞），
∵y=0.7^t為減函數(shù)，
∴要求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，
則等價(jià)為求函數(shù)t=1+2x-x²的遞減區(qū)間，
∵函數(shù)t=1+2x-x²的單調(diào)遞減區(qū)間為[1，+∞），
∴函數(shù)y=0.7${\;}^{1+2x-{x}^{2}}$的遞增區(qū)間為[1，+∞）．
（2）由1-x²≥0得-1≤x≤1，
即y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\sqrt{1-{x}^{2}}}$的定義域?yàn)閇-1，1]．
設(shè)t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，則0≤t≤1，
則y=（$\frac{1}{3}$）^t∈[$\frac{1}{3}$，1]，即函數(shù)的值域?yàn)閇$\frac{1}{3}$，1]，
∵y=（$\frac{1}{3}$）^t為減函數(shù)，
∴要求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，
則等價(jià)為求函數(shù)t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的遞減區(qū)間，
∵函數(shù)t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，1]，
∴函數(shù)y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\sqrt{1-{x}^{2}}}$的遞增區(qū)間為[0，1]．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)定義域，值域，單調(diào)區(qū)間的求解，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．