Question

4．寫出下列函數的定義域、值域、單調增區(qū)間．
（1）y=0.7${\;}^{1+2x-{x}^{2}}$；
（2）y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\sqrt{1-{x}^{2}}}$．

Answer 1

分析 根據復合函數單調性之間的關系進行求解即可．

解答 解：（1）y=0.7${\;}^{1+2x-{x}^{2}}$的定義域為（-∞，+∞），
設t=1+2x-x²，則t=-（x-1）²+2≤2，
∴y=0.7^t≥0.7²=0.49．即函數的值域為[0.49，+∞），
∵y=0.7^t為減函數，
∴要求函數的單調遞增區(qū)間，
則等價為求函數t=1+2x-x²的遞減區(qū)間，
∵函數t=1+2x-x²的單調遞減區(qū)間為[1，+∞），
∴函數y=0.7${\;}^{1+2x-{x}^{2}}$的遞增區(qū)間為[1，+∞）．
（2）由1-x²≥0得-1≤x≤1，
即y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\sqrt{1-{x}^{2}}}$的定義域為[-1，1]．
設t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，則0≤t≤1，
則y=（$\frac{1}{3}$）^t∈[$\frac{1}{3}$，1]，即函數的值域為[$\frac{1}{3}$，1]，
∵y=（$\frac{1}{3}$）^t為減函數，
∴要求函數的單調遞增區(qū)間，
則等價為求函數t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的遞減區(qū)間，
∵函數t=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的單調遞減區(qū)間為[0，1]，
∴函數y=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\sqrt{1-{x}^{2}}}$的遞增區(qū)間為[0，1]．

點評 本題主要考查函數定義域，值域，單調區(qū)間的求解，根據復合函數單調性之間的關系是解決本題的關鍵．