Question

【題目】已知函數，曲線在點處的切線在y軸上的截距為.

（1）求a；

（2）討論函數和的單調性；

（3）設，求證：.

Answer 1

【答案】（1） （2）為減函數，為增函數. （3）證明見解析

【解析】

（1）求出導函數，求出切線方程，令得切線的縱截距，可得（必須利用函數的單調性求解）；

（2）求函數的導數，由導數的正負確定單調性；

（3）不等式變形為，由遞減，得()，即，即，依次放縮，．

不等式，遞增得()，,,,先證，然后同樣放縮得出結論．

解：（1）對求導，得.

因此.又因為，

所以曲線在點處的切線方程為

，

即.

由題意，.

顯然，適合上式.

令，

求導得，

因此為增函數：故是唯一解.

（2）由（1）可知，，

因為，

所以為減函數.

因為，

所以為增函數.

（3）證明：由，易得.

由（2）可知，在上為減函數.

因此，當時，，即.

令，得，即.

因此，當時，.

所以成立.

下面證明：.

由（2）可知，在上為增函數.

因此，當時，，

即.

因此，

即.

令，得，

即.

當時，

.

因為，

所以，所以.

所以，當時，

.

所以，當時，成立.

綜上所述，當時，成立.